3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ известны длины рёбер: АВ = 3, AD = 5, АА₁ = 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В и С₁.

Решение:

Для нахождения площади сечения АВС₁ нам нужно определить тип фигуры, которую образуют эти точки, и найти длины ее сторон.

1. Определение фигуры: Сечение АВС₁ является треугольником.
2. Нахождение длин сторон:
   • Сторона АВ является ребром параллелепипеда, поэтому ее длина равна 3.
   • Сторона АС₁ является диагональю грани АА₁С₁С. Найдем ее длину, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике АА₁С₁: $$AC₁² = AA₁² + A₁C₁²$$. Так как А₁С₁ = AD = 5 (противоположные стороны прямоугольника А₁В₁С₁D₁), то $$AC₁² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169$$. Следовательно, $$AC₁ = √{169} = 13$$.
   • Сторона ВС₁ является диагональю грани ВВ₁С₁С. Найдем ее длину, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ВВ₁С₁: $$BC₁² = BB₁² + B₁C₁²$$. Так как BB₁ = AA₁ = 12 и B₁C₁ = AB = 3, то $$BC₁² = 12² + 3² = 144 + 9 = 153$$. Следовательно, $$BC₁ = √{153} = √{9 · 17} = 3√{17}$$.
3. Вычисление площади треугольника: Мы можем найти площадь треугольника АВС₁, используя формулу Герона, или, что проще, заметив, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания АВСD, если точки А, В, С1 лежат в одной плоскости. Однако, проще всего заметить, что треугольник АВС₁ является прямоугольным, так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания АВСD, а следовательно, и всем прямым в этой плоскости, включая АВ. Таким образом, треугольник АА₁С₁ прямоугольный. Теперь рассмотрим треугольник АВС₁. АВ = 3. АС1 = 13. ВС1 = $$3√{17}$$. Заметим, что AB перпендикулярно AC (так как AB перпендикулярно плоскости AD D1 A1), но AC не входит в треугольник. Рассмотрим треугольник АВС1. AB = 3. AC1 = 13. BC1 = $$3√{17}$$. Чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным, проверим теорему Пифагора: $$AB² + AC₁² = 3² + 13² = 9 + 169 = 178$$. $$BC₁² = 153$$. Не является прямоугольным.
4. Альтернативный подход: Площадь сечения можно найти, используя векторное произведение. Векторы $$¯{AB} = (3, 0, 0)$$, $$¯{AC₁} = (0, 5, 12)$$. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: $$S = rac{1}{2} |¯{AB} imes ¯{AC₁}|$$. $$¯{AB} imes ¯{AC₁} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \ 3 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 12 vmatrix} = extbf{i}(0 · 12 - 0 · 5) - extbf{j}(3 · 12 - 0 · 0) + extbf{k}(3 · 5 - 0 · 0) = 0 extbf{i} - 36 extbf{j} + 15 extbf{k}$$. Модуль вектора: $$|¯{AB} imes ¯{AC₁}| = √{0² + (-36)² + 15²} = √{1296 + 225} = √{1521} = 39$$. Площадь $$S = rac{1}{2} · 39 = 19.5$$.

Ответ: 19.5