3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВМ, причем ∠ AMB = 110°. Найдите угол ВАМ.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АМВ. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180° \).
3. \( \angle BAM + \angle ABM + 110° = 180° \).
4. \( \angle BAM + \angle ABM = 180° - 110° = 70° \).
5. Так как ВМ — биссектриса угла В, то \( \angle ABM = \angle CBM \).
6. \( \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 2 \cdot \angle ABM \).
7. В прямоугольном треугольнике АВС \( \angle ACB = 90° \).
8. \( \angle BAC + \angle ABC = 90° \).
9. \( \angle BAC + 2 \cdot \angle ABM = 90° \).
10. Из \( \angle BAM + \angle ABM = 70° \) следует, что \( \angle ABM = 70° - \angle BAM \).
11. Подставим это в уравнение \( \angle BAC + 2 \cdot \angle ABM = 90° \): \( \angle BAC + 2 \cdot (70° - \angle BAM) = 90° \).
12. Так как \( \angle BAC = \angle BAM \) (это один и тот же угол), то: \( \angle BAM + 140° - 2 \cdot \angle BAM = 90° \).
13. \( 140° - \angle BAM = 90° \).
14. \( \angle BAM = 140° - 90° = 50° \).

Ответ: ∠BAM = 50°.