3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектрис ВМ, причем ∠ АМВ = 110°. Найдите угол ВАМ.

Привет! Давай решим эту задачку шаг за шагом.

Дано:

• Треугольник АВС — прямоугольный.
• Угол С = 90°.
• ВМ — биссектриса угла B.
• Угол АМВ = 110°.

Найти:

• Угол ВАМ (он же угол А).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABM:

   • В этом треугольнике мы знаем один угол — ∠AMB = 110°.
   • Мы ищем угол ∠BAM (это и есть наш угол А).
   • Нам нужно найти третий угол — ∠ABM.

2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам. Значит, ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2. Нам нужно найти ∠B.

3. Рассмотрим треугольник ABC:

   • Он прямоугольный, значит, ∠C = 90°.
   • Сумма углов в треугольнике: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
   • Подставим известные значения: ∠A + ∠B + 90° = 180°.
   • Отсюда следует, что ∠A + ∠B = 90°.

4. Найдем ∠ABM:

   • Вернемся к треугольнику ABM. В нем сумма углов равна 180°: ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°.
   • Подставим известные значения: ∠BAM + ∠ABM + 110° = 180°.
   • Отсюда: ∠BAM + ∠ABM = 180° - 110°.
   • ∠BAM + ∠ABM = 70°.

5. Совместим уравнения:

   • У нас есть два уравнения:
   • 1) ∠A + ∠B = 90° (где ∠A = ∠BAM, а ∠B = 2 * ∠ABM)
   • 2) ∠BAM + ∠ABM = 70°
   • Подставим ∠B = 2 * ∠ABM в первое уравнение: ∠BAM + 2 * ∠ABM = 90°.
   • Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (∠BAM и ∠ABM):
   • 1) ∠BAM + 2 * ∠ABM = 90°
   • 2) ∠BAM + ∠ABM = 70°
   • Вычтем второе уравнение из первого:
   • (∠BAM + 2 * ∠ABM) - (∠BAM + ∠ABM) = 90° - 70°
   • ∠ABM = 20°.
   • Теперь, когда мы знаем ∠ABM, мы можем найти ∠BAM, используя второе уравнение:
   • ∠BAM + 20° = 70°.
   • ∠BAM = 70° - 20°.
   • ∠BAM = 50°.

Ответ: Угол ВАМ равен 50°.