3. В прямоугольном треугольнике АВС угол C - прямой, разность ВА - ВС равна 7,5 см. Найдите гипотенузу АВ, если ∠ A = 30°.

Привет! Давай решим эту задачку по геометрии.

Что нам дано?

• Треугольник ABC.
• Он прямоугольный, значит, угол C равен 90°.
• BA - BC = 7,5 см. (Здесь, скорее всего, опечатка, и имелось в виду AC - BC = 7,5 см или BC - AC = 7,5 см, так как BA - это гипотенуза, и она всегда больше катетов. Будем исходить из того, что разность катетов равна 7,5 см, а именно AC - BC = 7,5 см, так как катет, противолежащий углу в 30°, меньше другого катета).
• Угол A равен 30°.

Что нужно найти?

• Длину гипотенузы AB.

Решение:

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать свойства тригонометрии (синус, косинус, тангенс).

Мы знаем, что угол A = 30°. Вспомним основные соотношения для такого угла в прямоугольном треугольнике:

• Противолежащий катет (BC) равен половине гипотенузы (AB): BC = AB / 2.
• Прилежащий катет (AC) равен противолежащему катету, умноженному на √3, или гипотенузе, умноженной на cos(30°): AC = BC * √3 или AC = AB * cos(30°) = AB * (√3 / 2).

Теперь используем условие, что разность катетов равна 7,5 см. Мы предположили, что AC - BC = 7,5 см.

Подставим наши тригонометрические выражения:

• \[ AB \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{AB}{2} = 7,5 \]

Вынесем AB/2 за скобки:

• \[ \frac{AB}{2} (\sqrt{3} - 1) = 7,5 \]

Теперь найдем AB:

• \[ AB = \frac{7,5 \times 2}{\sqrt{3} - 1} \]
• \[ AB = \frac{15}{\sqrt{3} - 1} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (√3 + 1):

• \[ AB = \frac{15(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \]
• \[ AB = \frac{15(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \]
• \[ AB = \frac{15(\sqrt{3} + 1)}{2} \]
• \[ AB = 7,5(\sqrt{3} + 1) \]

Приближенное значение √3 ≈ 1,732:

• \[ AB \approx 7,5(1,732 + 1) \]
• \[ AB \approx 7,5 \times 2,732 \]
• \[ AB \approx 20,49 \text{ см} \]

Важное замечание: Если бы условие было BC - AC = 7,5 см, то решение было бы:

• \[ \frac{AB}{2} - AB \frac{\sqrt{3}}{2} = 7,5 \]
• \[ \frac{AB}{2} (1 - \sqrt{3}) = 7,5 \]
• \[ AB = \frac{15}{1 - \sqrt{3}} = \frac{15(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{15(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{15(1 + \sqrt{3})}{-2} \]

Длина не может быть отрицательной, поэтому наше первоначальное предположение о AC - BC = 7,5 см было верным.

Ответ: Гипотенуза AB равна \[ \frac{15(\sqrt{3} + 1)}{2} \] см (или приблизительно 20,49 см).