3. В равнобедренном треугольнике MNK MN = NK, NE — биссектриса, \(\angle\) M = 50°. Найди углы треугольника MNE.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( MNK \) с \( MN = NK \). \( NE \) — биссектриса. \( \angle M = 50^{\circ} \).

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \( \angle K = \angle M = 50^{\circ} \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle MNK \): \( \angle MNK = 180^{\circ} - (\angle M + \angle K) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
3. \( NE \) — биссектриса угла \( \angle MNK \), поэтому она делит его пополам: \( \angle MNE = \angle KNE = \frac{\angle MNK}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
4. Рассмотрим треугольник \( MNE \). Известны \( \angle M = 50^{\circ} \) и \( \angle MNE = 40^{\circ} \).
5. Найдем \( \angle MEN \) в треугольнике \( MNE \): \( \angle MEN = 180^{\circ} - (\angle M + \angle MNE) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: \( \angle M = 50^{\circ} \), \( \angle MNE = 40^{\circ} \), \( \angle MEN = 90^{\circ} \).