3. В равнобедренном треугольнике угол при основании относится к углу при вершине как 2 : 1. Периметр треугольника равен 35 см, а основание в 3 раза меньше боковой стороны. Найдите стороны и углы треугольника.

Обозначим угол при вершине через \(x\). Тогда каждый угол при основании равен \(2x\).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\(x+2x+2x=180°\),

\(5x=180°\),

\(x=36°\).

Значит, угол при вершине равен 36°, а углы при основании — по \(2\cdot36°=72°\).

Пусть боковая сторона равна \(a\) см. Тогда основание в 3 раза меньше: \(\frac{a}{3}\) см.

По условию периметра:

\(2a+\frac{a}{3}=35\),

\(\frac{7a}{3}=35\),

\(a=15\) см.

Основание: \(15:3=5\) см.

Ответ: боковые стороны — по 15 см, основание — 5 см; углы — 36°, 72° и 72°.