3. В равнобедренной трапеции ABCD проведены диагонали, пересекающиеся в точке E. а) Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ACD. б) Найдите основание AD, если периметр равен 42 см, AB = 5 см, а основание BC в 2 раза меньше AD.

а) В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому \(AB=CD\). Диагонали равнобедренной трапеции равны: \(BD=AC\). Сторона \(AD\) — общая для треугольников \(ABD\) и \(ACD\).

Значит, \(\triangle ABD=\triangle ACD\) по трём сторонам.

б) Обозначим \(AD=x\). Тогда \(BC=\frac{x}{2}\). Так как трапеция равнобедренная, \(AB=CD=5\) см.

Составим уравнение периметра: \(x+\frac{x}{2}+5+5=42\).

\(\frac{3x}{2}=32\), откуда \(x=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\) см.

Ответ: а) треугольники равны по трём сторонам; б) \(AD=21\frac{1}{3}\) см.