3 В равнобедренной трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД. Найдите площадь трапеции, если угол САД равен 30° АД = 12 см.

Решение:

1. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD || BC. По условию, AC ⊥ CD.
2. Угол ∠CAD = 30°, AD = 12 см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Так как AC ⊥ CD, то ∠ACD = 90°.
4. В прямоугольном треугольнике ACD:
• \( CD = AD \cdot \cos(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
• \( AC = AD \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.
5. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то боковые стороны равны: AB = CD = \( 6\sqrt{3} \) см.
6. Также в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Угол ∠ADC = 30°.
7. Опустим высоту CH из вершины C на основание AD. Тогда H — точка на AD.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол ∠CDH = ∠ADC = 30°.
9. \( DH = CD \cdot \cos(30^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \) см.
10. \( CH = CD \cdot \sin(30^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
11. В равнобедренной трапеции отрезки от вершин меньшего основания до концов большего основания равны: AH = (AD - DH).
12. \( AH = 12 - 9 = 3 \) см.
13. Так как трапеция равнобедренная, то AH = BC. Значит, BC = 3 см.
14. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot CH \).
15. \( S = \frac{1}{2} \cdot (12 \text{ см} + 3 \text{ см}) \cdot 3\sqrt{3} \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{45\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \).

Ответ: \( \frac{45\sqrt{3}}{2} \) см².