3. В школьном театре четыре роли: Бабы-Яги, Кощея Бессмертного, Змея Горыныча и Лешего. Их распределяют между четырьмя актёрами: Димой, Серёжей, Алёшей и Мишей. а) Сколько всего существует способов распределения ролей? б) Перечислите все способы, при которых роль Бабы-Яги достаётся Диме.

Решение задачи 3:

Эта задача на перестановки. У нас есть 4 роли и 4 актёра. Каждый актёр может получить любую из оставшихся ролей.

а) Сколько всего существует способов распределения ролей?

Для первой роли есть 4 варианта актёра. Для второй роли — 3 оставшихся варианта. Для третьей — 2 варианта. И для последней роли — 1 оставшийся вариант.

Общее число способов распределения ролей равно произведению числа вариантов для каждой роли:

• \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Ответ: Всего существует 24 способа распределения ролей.

б) Перечислите все способы, при которых роль Бабы-Яги достаётся Диме.

Если роль Бабы-Яги достаётся Диме, то у нас остаётся 3 роли (Кощея Бессмертного, Змея Горыныча и Лешего) и 3 актёра (Серёжа, Алёша и Миша) для их распределения. Количество способов распределить оставшиеся роли будет равно числу перестановок из 3 элементов.

• \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Способы распределения (где Б-Я — Баба-Яга, КБ — Кощей Бессмертный, ЗГ — Змей Горыныч, Л — Леший):

1. Дима (Б-Я), Серёжа (КБ), Алёша (ЗГ), Миша (Л)
2. Дима (Б-Я), Серёжа (КБ), Миша (ЗГ), Алёша (Л)
3. Дима (Б-Я), Алёша (КБ), Серёжа (ЗГ), Миша (Л)
4. Дима (Б-Я), Алёша (КБ), Миша (ЗГ), Серёжа (Л)
5. Дима (Б-Я), Миша (КБ), Серёжа (ЗГ), Алёша (Л)
6. Дима (Б-Я), Миша (КБ), Алёша (ЗГ), Серёжа (Л)

Ответ: Существует 6 способов распределения ролей, при которых роль Бабы-Яги достаётся Диме.