3. В трапеции ABCД диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CД и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠Д = 60°.

Примем стандартное для такой конфигурации расположение оснований: AD ∥ BC, а AB и CD — боковые стороны.

Так как AC ⟂ CD, треугольник ACD прямоугольный, причём ∠C = 90°, ∠D = 60°. Тогда ∠CAD = 30°. Диагональ AC делит угол A пополам, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = 30° и ∠DAB = 60°.

В треугольнике ACD по соотношению сторон напротив углов 30° и 90° получаем AD = 2CD.

Поскольку AD ∥ BC, углы при боковой стороне AB дополнительны: ∠ABC = 120°. В треугольнике ABC углы A и B равны 30° и 120°, поэтому ∠ACB = 30° и AB = BC.

Кроме того, из ∠DAB = 60° и ∠CAD = 30° следует, что AC образует с основанием угол 30°. В прямоугольном треугольнике ACD это даёт AC = √3·CD. Горизонтальная проекция AC равна 3CD/2, а проекция CD на направление основания — CD/2; поэтому BC = CD. Вместе с AB = BC получаем AB = BC = CD, а AD = 2CD.

Пусть CD = x см. Тогда периметр равен 2x + x + x + x = 5x = 35, откуда x = 7.

Ответ: AB = 7 см.