3. В трапеции ABCD с основаниями BC = 3a и AD = 7a точки N и M — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Найдите величину |\(\overrightarrow{AN}\) + \(\overrightarrow{BC}\) + \(\overrightarrow{MD}\)|.

Так как N — середина AB, а M — середина CD, имеем \(\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{MD}=\frac12\overrightarrow{CD}\).

По правилу сложения векторов для замкнутого контура ABCDA: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\), поэтому \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\).

Тогда \(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MD}=\frac12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BC}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})\).

Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) направлены в противоположные стороны, поскольку это основания трапеции. Следовательно, длина их суммы равна разности длин оснований:

\[\left|\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MD}\right|=\frac12(7a-3a)=2a.\]

Ответ: 2a.