3. В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно, MN ∥ BC ∥ AD. Диагональ AC пересекает MN в точке O. Доказать: AO = CO.

Рассмотрим треугольник ABC. Точка M — середина AB, а MO лежит на прямой MN, параллельной BC.

По теореме о средней линии треугольника прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная второй стороне, пересекает третью сторону в её середине. Значит, O — середина AC.

Следовательно, AO = CO. Что и требовалось доказать.