3. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

1. По двум сторонам и углу между ними треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Поэтому BC = B₁C₁ и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

2. Так как P и P₁ лежат на сторонах AB и A₁B₁, то BP = AB − AP, а B₁P₁ = A₁B₁ − A₁P₁. Из равенств AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁ следует BP = B₁P₁.

3. Поскольку лучи BP и BA совпадают, а лучи B₁P₁ и B₁A₁ совпадают, ∠PBC = ∠P₁B₁C₁.

4. В треугольниках BPC и B₁P₁C₁ равны две стороны BP = B₁P₁, BC = B₁C₁ и углы между ними. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △BPC = △B₁P₁C₁.