3. В треугольнике ABC: AB = a см, BC = a√3 см, AC = 2a см. Докажите, что прямая BC является касательной к окружности с центром в точке А и радиусом AB.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC.
2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$.
3. Подставим данные значения сторон: $$a^2 + (a\sqrt{3})^2 = (2a)^2$$.
4. Выполним возведение в степень: $$a^2 + a^2 \cdot 3 = 4a^2$$.
5. Упростим: $$a^2 + 3a^2 = 4a^2$$.
6. Получим: $$4a^2 = 4a^2$$.
7. Поскольку равенство верно, теорема Пифагора выполняется. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине B.
8. Следовательно, сторона AB (радиус окружности с центром в точке А) перпендикулярна стороне BC (прямой).
9. По определению касательной, прямая, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной к окружности.
10. Таким образом, прямая BC является касательной к окружности с центром в точке А и радиусом AB.

Ответ: Доказано.