3) В треугольнике ABC AC = 4, ∠B = 45°, ∠A = ∠C (по одинаковым дугам на рисунке). Найти S₍ABC₎.

Обозначим через H основание высоты из B на AC. В равнобедренном треугольнике эта высота делит основание пополам и угол B пополам: \(AH=HC=2\), \(\angle ABH=22.5^\circ\).

Из прямоугольного треугольника ABH:

\(BH=\frac{AH}{\tan 22.5^\circ}=\frac{2}{\tan 22.5^\circ}=2(1+\sqrt{2})\).

По формуле площади треугольника:

\(S_{ABC}=\frac{AC\cdot BH}{2}=\frac{4\cdot2(1+\sqrt{2})}{2}=4(1+\sqrt{2})\).

Ответ: \(4(1+\sqrt{2})\) кв. ед.