3. В треугольнике ABC <C = 90°, а биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Е. Найдите угол АЕВ.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• AE — биссектриса ∠A
• BE — биссектриса ∠B
• Точка пересечения биссектрис — E

Найти: ∠AEB

Решение:

1. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (сумма углов треугольника).
2. ∠A + ∠B + 90° = 180°
3. ∠A + ∠B = 90°
4. ∠EAB = ∠A / 2 (так как AE — биссектриса).
5. ∠EBA = ∠B / 2 (так как BE — биссектриса).
6. В ∠AEB: ∠AEB + ∠EAB + ∠EBA = 180°.
7. ∠AEB + ∠A / 2 + ∠B / 2 = 180°.
8. ∠AEB = 180° - (∠A / 2 + ∠B / 2).
9. ∠AEB = 180° - (∠A + ∠B) / 2.
10. Подставляем ∠A + ∠B = 90° из пункта 3:
11. ∠AEB = 180° - (90°) / 2.
12. ∠AEB = 180° - 45°.
13. ∠AEB = 135°.

Ответ: 135°