3. В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что AB · BC = AE · EK. б) Найдите отношение площади ABD к площади CDE, если BD:DC = 5:2.

Так как \(AB=BD\), треугольник \(ABD\) равнобедренный с основанием \(AD\). Биссектриса угла \(ABD\) одновременно является медианой и высотой к основанию \(AD\). Поэтому точка E — середина AD, а \(BE\perp AD\).

Следовательно, \(AE=ED\). Кроме того, так как \(CK\perp AD\), отрезки \(BE\) и \(CK\) являются высотами к одной и той же прямой AD. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получается требуемое соотношение:

\[AB\cdot BC=AE\cdot EK.\]

Для пункта б) треугольники ABD и CDE имеют основания BD и DC на одной прямой BC. Высота из A к BC в два раза больше высоты из E к BC, поскольку E — середина AD. Поэтому

\[\frac{S_{ABD}}{S_{CDE}}=\frac{BD}{DC}\cdot 2=\frac52\cdot2=5.\]

Ответ: \(S_{ABD}:S_{CDE}=5:1\).