3. В треугольнике ABC провели медиану BM. Оказалось, что сумма углов A и C равна углу ABM. Найдите отношение медианы BM к стороне BC.

Пусть \(\angle ABC=B\), а \(\angle ABM=\alpha\). По условию \(\alpha=\angle A+\angle C=180^\circ-B\). Поскольку медиана проходит внутри угла \(B\), имеем \(B>90^\circ\).

Обозначим \(AB=c\), \(BC=a\). По теореме синусов в треугольнике \(ABM\) и в треугольнике \(CBM\), учитывая \(AM=MC\), получаем

\(\frac{c}{a}=\frac{\sin(B-\alpha)}{\sin\alpha}\).

Подставим \(\alpha=180^\circ-B\):

\(\frac{c}{a}=\frac{\sin(2B-180^\circ)}{\sin B}=\frac{-\sin 2B}{\sin B}=-2\cos B\).

По теореме косинусов в треугольнике \(BMC\), где \(\angle MBC=B-\alpha=2B-180^\circ\), и с учётом \(MC=AB/2=c/2\):

\(BM^2=a^2+(c/2)^2-ac\cos(2B-180^\circ)\).

Так как \(\cos(2B-180^\circ)=-\cos 2B\) и \(c/a=-2\cos B\), после подстановки получаем \(BM^2=a^2/4\), следовательно, \(BM/BC=1/2\).

Ответ: \(BM:BC=1:2\).