3. В треугольнике ABC точки K и D лежат на стороне AB, точки P и E — на стороне AC; порядок точек на сторонах — A–K–D–B и A–P–E–C. Дано: KP ∥ DE, AK = x, KD = 9, AP = 4, PE = x. Найти: x.

Так как \(KP\parallel DE\), треугольники \(AKP\) и \(ADE\) подобны. Поэтому \(\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{AP}{AE}\).

Найдём целые стороны: \(AD=AK+KD=x+9\), \(AE=AP+PE=4+x\).

Подставим значения в отношение подобия: \(\dfrac{x}{x+9}=\dfrac{4}{x+4}\).

Перемножим крест-накрест: \(x(x+4)=4(x+9)\).

\(x^2+4x=4x+36\), откуда \(x^2=36\). Длина положительна, значит \(x=6\).

Ответ: \(x=6\).