3) В треугольнике ABC угол C = 90°, Cos A = 9/41. Найдите tg A.

Решение:

Дано, что в прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90° и \(\cos A = \frac{9}{41}\).

Нам нужно найти \(\operatorname{tg} A\).

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

Выразим \(\sin A\):

\(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\)

\(\sin^2 A = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}\)

Так как A — угол острого угла в прямоугольном треугольнике, то \(\sin A > 0\).

\(\sin A = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41}\)

Теперь найдем \(\operatorname{tg} A\) по формуле: \(\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}\).

\(\operatorname{tg} A = \frac{\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}} = \frac{40}{41} \cdot \frac{41}{9} = \frac{40}{9}\)

Ответ: \(\operatorname{tg} A = \frac{40}{9}\).