3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

В треугольнике АВС ВМ — медиана, ВН — высота. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Необходимо найти АН.

Так как ВС = ВМ, то треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Это означает, что ВМ ⊥ АС.

По условию, ВН — высота, то есть ВН ⊥ АС.

Если две прямые (ВМ и ВН) перпендикулярны одной и той же прямой (АС) и проходят через одну точку (В), то эти прямые совпадают. Следовательно, точки М и Н совпадают.

Так как М — середина АС (по определению медианы), то АМ = МС = \( \frac{AC}{2} \) = \( \frac{84}{2} \) = 42.

Поскольку М и Н совпадают, то АН = АМ.

АН = 42.

Ответ: 42