3. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=15 см и NC=5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если AC=15 см.

Задание 3. Длина отрезка MN

Дано:

• Треугольник \( \triangle ABC \)
• Прямая \( MN \parallel AC \)
• \( BN = 15 \) см
• \( NC = 5 \) см
• \( AC = 15 \) см

Найти: длину отрезка \( MN \).

Решение:

1. Так как \( MN \parallel AC \), то треугольник \( \triangle BMN \) подобен треугольнику \( \triangle BAC \) (по двум углам: \( \angle B \) — общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).
2. Из подобия следует пропорциональность сторон: \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]
3. Найдём длину стороны \( BC \): \( BC = BN + NC = 15 + 5 = 20 \) см.
4. Теперь используем пропорцию для нахождения \( MN \): \[ \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]
5. Подставим значения: \[ \frac{15}{20} = \frac{MN}{15} \]
6. Решим пропорцию: \[ MN = \frac{15 \cdot 15}{20} = \frac{225}{20} = \frac{45}{4} = 11.25 \] см.

Ответ: Длина отрезка MN равна 11.25 см.