3) В треугольнике АВС центр описанной окружности лежит на стороне АВ. Угол ВАС в пять раз больше угла АВС. Найдите градусную меру угла ВАС.

Решение:

1. Свойство центра описанной окружности: Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Треугольник, вписанный в окружность так, что одна из его сторон является диаметром, является прямоугольным.
2. Определение типа треугольника: Поскольку центр описанной окружности лежит на стороне AB, то сторона AB является диаметром. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, и угол ACB равен 90°.
3. Связь углов: По условию, угол BAC в пять раз больше угла ABC. Обозначим угол ABC как x. Тогда угол BAC = 5x.
4. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В нашем случае:
• Угол ABC + Угол BAC + Угол ACB = 180°
• x + 5x + 90° = 180°
5. Решение уравнения:
• 6x = 180° - 90°
• 6x = 90°
• x = 90° / 6
• x = 15°
6. Нахождение угла BAC:
• Угол ABC (x) = 15°.
• Угол BAC (5x) = 5 * 15° = 75°.

Ответ: 75°