3. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а биссектриса СР угла, смежного с углом АСВ, параллельна прямой АВ. Найдите угол, образованный биссектрисой и лучом СВ.

Решение:

Пусть \(\angle ACB = \gamma\). Угол, смежный с \(\angle ACB\), равен \(180^{\circ} - \gamma\). Биссектриса \(CP\) делит этот смежный угол пополам, поэтому \(\angle PСX = \frac{180^{\circ} - \gamma}{2}\), где \(X\) — точка на продолжении \(BC\) за точку \(C\).

По условию \(CP \parallel AB\).

Рассмотрим секущую \(AC\). Накрест лежащие углы равны: \(\angle PCA = \angle CAB = \angle A = 40^{\circ}\). Отсюда \(\frac{180^{\circ} - \gamma}{2} = 40^{\circ}\).

\(180^{\circ} - \gamma = 80^{\circ}\).

\(\gamma = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\).

\(\angle ACB = 100^{\circ}\).

Теперь найдем угол, образованный биссектрисой \(CP\) и лучом \(CB\). Это угол \(\angle PCB\).

\(\angle PCB = \angle PCX + \angle XCB = 40^{\circ} + 180^{\circ} = 220^{\circ}\).

Это внешний угол. Внутренний угол \(\angle ACB = 100^{\circ}\). Смежный угол равен \(180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}\).

Биссектриса \(CP\) делит смежный угол, то есть \(\angle CPB = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}\).

Мы ищем угол, образованный биссектрисой \(CP\) и лучом \(CB\). Этот угол равен \(\angle PCB\).

\(\angle PCB = \angle PCX = 40^{\circ}\). Угол \(\angle ACB = 100^{\circ}\). Угол \(\angle PСB\) является смежным с \(\angle ACB\) и равен \(180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}\).

По условию, \(CP\) — биссектриса угла, смежного с \(\angle ACB\). Пусть этот смежный угол равен \(\alpha\). Тогда \(\alpha = 180^{\circ} - \angle ACB\).

\(\angle CPA = \angle CPB = \frac{\alpha}{2}\).

Так как \(CP ↔ AB\), то \(\angle CPA = \angle CAB = 40^{\circ}\) (как накрест лежащие углы при секущей \(AC\)).

Значит, \(\frac{\alpha}{2} = 40^{\circ}\) \(\Rightarrow\) \(\alpha = 80^{\circ}\).

Следовательно, \(180^{\circ} - \angle ACB = 80^{\circ}\) \(\Rightarrow\) \(\angle ACB = 100^{\circ}\).

Угол, образованный биссектрисой \(CP\) и лучом \(CB\), это \(\angle PCB\).

\(\angle PCB = \frac{\alpha}{2} = 40^{\circ}\).

Ответ: 40°.