3. В треугольнике DBC известно, что ∠D = 40°, ∠B = 74°. Биссектриса угла C пересекает сторону BD в точке N. Найдите угол CNB. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8 : 3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 78.

3. Нахождение угла CNB

1. Сначала найдём третий угол треугольника DBC: \( \angle C = 180^{\circ} - \angle D - \angle B = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 74^{\circ} = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ} \).
2. Так как CN — биссектриса угла C, она делит его пополам: \( \angle DCN = \angle BCN = \frac{66^{\circ}}{2} = 33^{\circ} \).
3. Рассмотрим треугольник CNB. Найдём угол CNB: \( \angle CNB = 180^{\circ} - \angle B - \angle BCN = 180^{\circ} - 74^{\circ} - 33^{\circ} = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ} \).

4. Нахождение сторон равнобедренного треугольника

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна \( b \), а основание — \( a \). Периметр треугольника равен \( P = a + 2b = 78 \).

Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 8:3. Пусть точка касания делит боковую сторону на отрезки \( x \) и \( y \), где \( x \) — отрезок, прилежащий к основанию, и \( y \) — отрезок, прилежащий к вершине. Тогда \( b = x + y \). По условию \( x : y = 8 : 3 \), значит, \( x = 8k \) и \( y = 3k \) для некоторого \( k \). Следовательно, \( b = 8k + 3k = 11k \).

Также точка касания делит основание на два отрезка. Пусть основание делится на отрезки \( z \) и \( z \) (так как треугольник равнобедренный, биссектриса, проведённая к основанию, также является медианой и высотой, а точка касания лежит на этой биссектрисе). Отрезок основания, прилежащий к точке касания, равен \( z \). По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки от вершины угла при основании до точки касания боковой стороны равны отрезку от вершины угла при основании до точки касания основания. Таким образом, \( z = y = 3k \).

Тогда основание \( a = 2z = 2 \cdot 3k = 6k \).

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) в формулу периметра: \( P = a + 2b = 6k + 2(11k) = 6k + 22k = 28k \).

По условию \( P = 78 \), значит, \( 28k = 78 \). Отсюда \( k = \frac{78}{28} = \frac{39}{14} \).

Найдём стороны треугольника:

• Основание \( a = 6k = 6 \cdot \frac{39}{14} = \frac{3 \cdot 39}{7} = \frac{117}{7} \).
• Боковая сторона \( b = 11k = 11 \cdot \frac{39}{14} = \frac{429}{14} \).

Проверим периметр: \( a + 2b = \frac{117}{7} + 2 \cdot \frac{429}{14} = \frac{234}{14} + \frac{858}{14} = \frac{1092}{14} = 78 \). Периметр совпадает.

Ответ: 3. Угол CNB равен 73°. 4. Стороны треугольника равны \( \frac{117}{7} \) и \( \frac{429}{14} \).