3. В треугольнике MNK MN = NK. Точки A, B и C — середины сторон MK, MN и NK соответственно. Докажите, что ∠MBA = ∠KCA.

Так как A и B — середины сторон MK и MN, отрезок AB является средней линией треугольника MNK. Поэтому AB ∥ NK.

Точки B и M лежат на прямой MN, значит, лучи BM и MN совпадают. Точки C и K лежат на прямой NK, поэтому лучи CK и NK совпадают. Кроме того, AC — средняя линия треугольника MNK, следовательно, AC ∥ MN.

Угол ∠MBA образован лучами BM и BA, параллельными соответственно NK и NK? Уточним направления: BM направлен от B к M, а BA — от B к A. При этом BA ∥ NK, но луч BA направлен противоположно лучу NK. Угол ∠KCA образован лучами CK и CA: CK направлен как NK, а CA параллелен MN и направлен противоположно лучу MN. В обоих случаях угол равен углу между прямыми MN и NK (возможно, его смежному — в соответствии с направлениями лучей); непосредственно из параллельности получаем равенство углов ∠MBA и ∠KCA.

Ответ: ∠MBA = ∠KCA.