3. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, ∠Q = 60°, ∠S = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Краткая запись:

• Треугольник RQS.
• QS = 10.
• ∠Q = 60°.
• ∠S = 90°.
• Найти: радиус описанной окружности (R).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Треугольник RQS — прямоугольный, так как ∠S = 90°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике гипотенузой является сторона, лежащая напротив прямого угла. В данном случае это сторона RQ.
3. Шаг 3: По теореме синусов для треугольника RQS: \(\frac{QS}{\sin(\angle R)} = \frac{RS}{\sin(\angle Q)} = \frac{RQ}{\sin(\angle S)} = 2R\), где R — радиус описанной окружности.
4. Шаг 4: Так как ∠S = 90°, то \(\sin(\angle S) = \sin(90^ ext{о}) = 1\).
5. Шаг 5: Следовательно, \(\frac{RQ}{1} = 2R\), что означает, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $$R = \frac{RQ}{2}$$.
6. Шаг 6: Найдем длину гипотенузы RQ. В прямоугольном треугольнике RQS, у нас есть катет QS = 10 и угол Q = 60°.
7. Шаг 7: Используем тригонометрическое соотношение: \(\cos(\angle Q) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\\)
8. Шаг 8: \(\cos(60^ ext{о}) = \frac{QS}{RQ}\\)
9. Шаг 9: \(\frac{1}{2} = \frac{10}{RQ}\\)
10. Шаг 10: Отсюда, $$RQ = 10 imes 2 = 20$$.
11. Шаг 11: Теперь найдем радиус описанной окружности: $$R = \frac{RQ}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

Ответ: 10