3. Вася расставляет по кругу через равные расстояния 5 белых и 5 чёрных точек. Вася настолько устал от симметрии, что хочет сделать так, чтобы у этого круга не было осей симметрии. Помогите ему это сделать. Докажите, что ваша последовательность действительно не имеет осей симметрии.

Расположим точки по кругу в таком порядке, начиная с одной из чёрных и двигаясь по часовой стрелке: чёрная, чёрная, белая, чёрная, белая, чёрная, белая, белая, чёрная, белая.

Докажем, что оси симметрии нет. Для десяти равноудалённых точек любая ось отражения должна проходить через центр круга и либо через две противоположные точки, либо через середины двух противоположных промежутков. При отражении цвет каждой точки должен совпадать с цветом точки, в которую она переходит. В нашем порядке единственная пара соседних чёрных точек — первая и вторая. Если бы ось сохраняла раскраску, она должна была бы сохранять и эту пару, а значит, проходить через середину промежутка между ними. Но отражение относительно такой оси переводит третью точку (белую) в первую (чёрную). Получено противоречие. Следовательно, осей симметрии нет.