3. Внешний угол треугольника MNK при вершине K равен 140°, а биссектриса этого угла параллельна медиане NB. Найдите градусную меру угла M, если угол MNB равен 20°. Определите вид треугольника BNK.

Решение:

1. Внешний угол при вершине K равен \( 140^{\circ} \). Внутренний угол K равен \( 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
2. Пусть \( ∠ MNK = \beta \). Тогда внешний угол при вершине K равен \( \alpha \). По условию \( \alpha = 140^{\circ} \).
3. По теореме о внешнем угле треугольника: \( \angle K = \angle M + \angle N = 40^{\circ} \).
4. Биссектриса внешнего угла при вершине K параллельна медиане NB.
5. Это означает, что треугольник MNK — равнобедренный с основанием NK. Следовательно, \( ∠ M = ∠ NKB \).
6. Угол \( ∠ MNB = 20^{\circ} \) дан по условию.
7. Так как \( NB \) — медиана, то \( AB = BC \).
8. По условию биссектриса внешнего угла при вершине K параллельна медиане NB.
9. Пусть \( ∠ MKP = 140^{\circ} \) — внешний угол при вершине K.
10. Если биссектриса внешнего угла при K параллельна NB, то \( ∠ NKF = ∠ KFB \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей NK, где F — точка на биссектрисе).
11. Из условия параллельности NB и биссектрисы угла K следует, что \( ∠ M = ∠ MNK \). Это неверно.
12. Рассмотрим треугольник MNK. Внешний угол при вершине K равен 140°, значит, внутренний угол \( ∠ K = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).
13. Пусть \( ∠ M = \alpha \) и \( ∠ N = \beta \). Тогда \( \alpha + \beta + 40^{\circ} = 180^{\circ} \), откуда \( \alpha + \beta = 140^{\circ} \).
14. NB — медиана.
15. Биссектриса внешнего угла при вершине K параллельна медиане NB. Пусть эта биссектриса пересекает сторону MN в точке F. Тогда \( ∠ MKF = ∠ KFN \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых KF || NB и секущей NK) и \( ∠ FKC = ∠ CNB \) (соответственные углы при параллельных прямых KF || NB и секущей NB, где C — точка на продолжении NK).
16. \( ∠ MKP = 140^{\circ} \). Биссектриса делит его на два угла по \( 70^{\circ} \).
17. \( ∠ MKF = ∠ FKC = 70^{\circ} \).
18. Рассмотрим треугольник KNF. \( ∠ KNF = ∠ MKF = 70^{\circ} \) (накрест лежащие углы).
19. \( ∠ MNB = 20^{\circ} \).
20. \( ∠ KNB = ∠ KNF - ∠ MNB = 70^{\circ} - 20^{\circ} = 50^{\circ} \).
21. В треугольнике BNK: \( ∠ MNB = 20^{\circ} \). \( ∠ KNB = 50^{\circ} \).
22. ∠ B = ∠ BNK = 180 - (20+50)=110.
23. NB — медиана, значит, она делит сторону MN пополам.
24. По условию биссектриса внешнего угла при K параллельна медиане NB.
25. Из параллельности NB и биссектрисы внешнего угла K следует, что треугольник BNK подобен треугольнику, образованному стороной MN и биссектрисой, что не даёт информации.
26. Если биссектриса внешнего угла при K параллельна медиане NB, то треугольник MNK равнобедренный с боковыми сторонами, на которых лежат концы медианы (т.е. MK=NK).
27. Если MK = NK, то \( ∠ M = ∠ MNK \).
28. ∠ M + ∠ MNK + ∠ K = 180°.
29. ∠ M + ∠ M + 40° = 180°.
30. 2 \( ∠ M = 140^{\circ} \).
31. ∠ M = 70^{\(\circ\)} \).
32. ∠ MNK = 70^{\(\circ\)} \).
33. ∠ MNB = 20^{\(\circ\)} \).
34. ∠ BNK = ∠ MNK - ∠ MNB = 70^{\(\circ\)} - 20^{\(\circ\)} = 50^{\(\circ\)} \).
35. В треугольнике BNK: \( ∠ MNB = 20^{\circ} \), \( ∠ BNK = 50^{\circ} \).
36. ∠ NKB = 180^{\(\circ\)} - (∠ MNB + ∠ BNK) = 180^{\(\circ\)} - \(20^{\circ} + 50^{\circ}\) = 110^{\(\circ\)} \).
37. Вид треугольника BNK: остроугольный, тупоугольный или прямоугольный. \( 20^{\circ}, 50^{\circ}, 110^{\circ} \). Так как один из углов больше 90°, треугольник BNK тупоугольный.

Ответ: Угол M равен 70°. Треугольник BNK тупоугольный.