3* Восстанови пропущенные цифры в равенстве \( \square \cdot 1\square = \square 31 \), если последняя цифра второго множителя и первая цифра в произведении одинаковые.

Решение:

Искомое равенство имеет вид: \( A1B \times C1D = E31 \), где \( A, B, C, D, E \) — цифры. По условию, \( D = E \).

Рассмотрим возможные последние цифры множителей, произведение которых оканчивается на 1. Это могут быть только 3 и 7, или 1 и 1, или 9 и 9.

1. Случай 1: последние цифры множителей 3 и 3.
   Тогда равенство имеет вид \( A13 \times C13 = E31 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 113 \times 113 \) — это слишком большое число.
   Если \( A=1, C=2 \), то \( 113 \times 213 \) — слишком большое число.
   Если \( A=2, C=1 \), то \( 213 \times 113 \) — слишком большое число.
2. Случай 2: последние цифры множителей 7 и 7.
   Тогда равенство имеет вид \( A17 \times C17 = E31 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 117 \times 117 = 13689 \). Здесь последняя цифра 9, а первая 1. Это не подходит.
   Если \( A=1, C=2 \), то \( 117 \times 217 \) — слишком большое число.
   Если \( A=2, C=1 \), то \( 217 \times 117 \) — слишком большое число.
3. Случай 3: последняя цифра второго множителя 1.
   Тогда равенство имеет вид \( A1B \times C11 = E31 \).
   Последняя цифра произведения равна 1, если последняя цифра первого множителя равна 1. То есть \( B=1 \).
   Равенство: \( A11 \times C11 = E31 \).
   По условию, \( E=1 \) (первая цифра произведения совпадает с последней цифрой второго множителя, которая равна 1).
   Получаем \( A11 \times C11 = 131 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 111 \times 111 \) — слишком большое число.
   Если \( A=1 \), то \( 111 \times C11 \). Если \( C=1 \), то \( 111 \times 111 = 12321 \).
   Если \( A=0 \) (т.е. первый множитель двузначный), то \( 11 \times 11 \) = 121. Это не подходит.
4. Случай 4: последний цифрой первого множителя является 9, а второго 9.
   Равенство \( A19 \times C19 = E31 \).
   По условию \( E=9 \).
   \( A19 \times C19 = 931 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 119 \times 119 = 14161 \).
   Если \( A=0 \) (т.е. первый множитель двузначный), то \( 19 \times 19 = 361 \). Первая цифра 3, не 9.
5. Случай 5: последняя цифра первого множителя 3, а второго 7.
   Равенство \( A13 \times C17 = E31 \).
   По условию \( E=7 \).
   \( A13 \times C17 = 731 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 113 \times 117 \) = 13221.
   Если \( A=0 \) (т.е. первый множитель двузначный), то \( 13 \times 17 = 221 \). Первая цифра 2, не 7.
6. Случай 6: последняя цифра первого множителя 7, а второго 3.
   Равенство \( A17 \times C13 = E31 \).
   По условию \( E=3 \).
   \( A17 \times C13 = 331 \).
   Если \( A=1, C=1 \), то \( 117 \times 113 = 13221 \).
   Если \( A=0 \) (т.е. первый множитель двузначный), то \( 17 \times 13 = 221 \). Первая цифра 2, не 3.

Рассмотрим более внимательно последнее условие: первая цифра произведения равна последней цифре второго множителя. Пусть второе число — \( X1Y \), тогда \( Y = E \).

Проверим вариант, когда первый множитель — \( 1 \) и второй множитель — \( 31 \).
\( 1 \times 31 = 31 \). Первая цифра произведения 3, последняя цифра второго множителя 1. Не подходит.
Но в задании пропущены цифры в обоих множителях.
\( \square 3 \cdot 1 \square = \square 31 \)

Пусть первое число \( A1B \), второе \( C1D \). И \( D=E \).

Рассмотрим, какие двузначные числа при умножении дают в конце 1.

Варианты: \( 3 \times 7 = 21 \), \( 7 \times 3 = 21 \), \( 9 \times 9 = 81 \), \( 1 \times 1 = 1 \).

Исходя из вида \( \square \cdot 1\square = \square 31 \), мы видим, что второе число имеет вид \( 10 + D \).

Если \( D = 3 \), то второе число \( 13 \). Первое число должно оканчиваться на 7, чтобы в произведении было 1.
\( A17 \times 13 = E31 \).
\( 17 \times 13 = 221 \). Первая цифра 2, последняя второго множителя 3. Не подходит.
\( 217 \times 13 = 2821 \). Первая цифра 2, последняя второго множителя 3. Не подходит.
\( 317 \times 13 = 4121 \). Первая цифра 4, последняя второго множителя 3. Не подходит.
\( 717 \times 13 = 9321 \). Первая цифра 9, последняя второго множителя 3. Не подходит.

Если \( D = 7 \), то второе число \( 17 \). Первое число должно оканчиваться на 3.
\( A13 \times 17 = E31 \).
\( 113 \times 17 = 1921 \). Первая цифра 1, последняя второго множителя 7. Не подходит.
\( 213 \times 17 = 3621 \). Первая цифра 3, последняя второго множителя 7. Подходит! \( E=3 \), \( D=7 \).

Искомое равенство: \( 213 \times 17 = 3621 \).
Проверим условие: последняя цифра второго множителя (17) — это 7. Первая цифра произведения (3621) — это 3. Условие не выполняется.

Если \( D=1 \), второе число \( 11 \). Первое число должно оканчиваться на 1.
\( A11 \times 11 = E31 \).
\( E=1 \).
\( A11 \times 11 = 131 \).
Если \( A=1 \), то \( 111 \times 11 = 1221 \). Первая цифра 1, последняя цифра второго множителя 1. Подходит! \( E=1 \), \( D=1 \).

Искомое равенство: \( 111 \times 11 = 1221 \).
Проверим условие: последняя цифра второго множителя (11) — это 1. Первая цифра произведения (1221) — это 1. Условие выполняется.

Ответ: 111 · 11 = 1221