3* Восстанови пропущенные цифры в равенстве \( \square \cdot 1\square = \square 99 \), если последняя цифра второго множителя и первая цифра в произведении одинаковые.

Решение:

Рассмотрим равенство \( \square \cdot 1\square = \square 99 \). Нас интересуют двузначные числа, оканчивающиеся на 9, которые при умножении на какое-то число дают число, заканчивающееся на 99. Единственное число, заканчивающееся на 9, которое может дать произведение, оканчивающееся на 99, — это 99.

Итак, если второй множитель равен 99, то первое число должно быть таким, чтобы при умножении на 99 получалось число, начинающееся с той же цифры, что и 99, то есть с 9. Проверим:

\[ 9 \times 99 = 891 \]

Это не подходит, так как первая цифра произведения (8) не совпадает с последней цифрой второго множителя (9), и число не заканчивается на 99.

Попробуем другой подход. Нам нужно найти два множителя, произведение которых оканчивается на 99. Посмотрим на числа, оканчивающиеся на 9. Если второй множитель — \( 19 \), то первая цифра произведения — \( 1 \) (одинаковая с последней цифрой второго множителя). Ищем число, которое при умножении на 19 дает число, начинающееся на 1 и заканчивающееся на 99. Это невозможно, так как 19 умноженное на любое целое число, не может дать число, заканчивающееся на 99.

Возможен другой вариант: последняя цифра второго множителя и первая цифра произведения одинаковые. Пусть второй множитель — \( 1x \), где \( x \) — последняя цифра. Произведение оканчивается на 99. Это значит, что второе число оканчивается на 9 (так как \( ...9 \times ...? = ...9 \)).

Если второй множитель — \( 19 \). Тогда \( \square \times 19 = \square 99 \). Единственное число, которое при умножении на 19 дает число, заканчивающееся на 9, — это число, оканчивающееся на 1 (например \( 1 \times 19 = 19 \) — не подходит, \( 11 \times 19 = 209 \) — не подходит, \( 21 \times 19 = 399 \) — не подходит).

Проверим вариант, где первый множитель — \( 9 \). Тогда \( 9 \times \square = \square 99 \). Это значит, что второе множитель должен быть таким, чтобы \( 9 \times \square \) заканчивалось на 9. Такое число — \( 9 \), \( 19 \), \( 29 \) и т.д.

Если второй множитель — \( 19 \): \( 9 \times 19 = 171 \). Не подходит.

Если второй множитель — \( 11 \): \( \square \times 11 = \square 99 \). Проверим числа, оканчивающиеся на 9. \( 9 \times 11 = 99 \). Первая цифра произведения (9) совпадает с последней цифрой второго множителя (9).

Тогда равенство будет:

\[ 9 \times 11 = 99 \]

Здесь пропущенные цифры:

• Первый множитель: \( \mathbf{9} \)
• Второй множитель: \( 1\mathbf{1} \)
• Произведение: \( \mathbf{9}9 \)

Проверка условия: последняя цифра второго множителя (1) и первая цифра в произведении (9) — не одинаковые. Значит, этот вариант не подходит.

Давайте ещё раз посмотрим на условие: «последняя цифра второго множителя и первая цифра в произведении одинаковые».

Пусть второй множитель — \( 1x \). Тогда \( x \) — последняя цифра второго множителя. Первая цифра произведения должна быть равна \( x \).

Рассмотрим числа, оканчивающиеся на 9. Это может быть \( 9 \), \( 19 \), \( 29 \) и т.д.

Если второй множитель — \( 19 \), то \( x=9 \). Значит, первая цифра произведения должна быть 9. Ищем такое число \( y \), что \( y \times 19 = 999 \). \( 999 / 19 = 52.57... \) — не подходит.

Если второй множитель — \( 11 \). Тогда \( x=1 \). Первая цифра произведения должна быть 1. Ищем такое число \( y \), что \( y \times 11 = 199 \). \( 199 / 11 = 18.09... \) — не подходит.

Рассмотрим числа, которые при умножении дают \( ...99 \).

Возможные окончания второго множителя: \( \textbf{9} \) (так как \( ...9 \times ...1 = ...9 \), \( ...3 \times ...3 = ...9 \), \( ...7 \times ...7 = ...9 \)).

Если последний цифра второго множителя — \( \textbf{9} \). И первая цифра произведения — \( \textbf{9} \).

Пусть второй множитель — \( 19 \). Тогда \( \textbf{9} \times 19 = 171 \). Не подходит.

Пусть первый множитель — \( 1 \). Тогда \( 1 \times 1\square = 1\[\text{какая-то цифра}\]99 \) — невозможно.

Пусть первый множитель — \( 9 \). Тогда \( 9 \times 1\square = \square 99 \). Второе множитель должен быть таким, что \( 9 \times \text{ последнее число } \) заканчивается на 9. То есть последнее число — 1. Значит, второй множитель — \( 11 \).

\[ 9 \times 11 = 99 \]

Здесь последняя цифра второго множителя (1) и первая цифра произведения (9) не совпадают.

Рассмотрим второй множитель — \( 13 \). Последняя цифра — 3. Первая цифра произведения — 3. Ищем \( y \) такое, что \( y \times 13 = 399 \). \( 399 / 13 = 30.69... \) — не подходит.

Пусть второй множитель — \( 17 \). Последняя цифра — 7. Первая цифра произведения — 7. Ищем \( y \) такое, что \( y \times 17 = 799 \). \( 799 / 17 = 47.0 \). Значит, \( 47 \times 17 = 799 \).

Здесь: первый множитель — 47, второй множитель — 17, произведение — 799.

Проверим условие: последняя цифра второго множителя (7) и первая цифра в произведении (7) — одинаковые. Условие выполнено.

Ответ: 47 · 17 = 799.