3. Вова с папой ехали на машине по прямой дороге с постоянной скоростью. Пока папа управлял машиной, Вове было нечем заняться, и он рассматривал километровые столбы. Вова заметил, что ровно 12:05 в они проехали мимо столба с числом ХҮ (где Х, У — некоторые цифры), в 12:47 - мимо столба с числом У Х, а в 13:05 — мимо столба с числом ХОУ. С какой скоростью они ехали?

Решение:

Пусть скорость машины равна \( v \) км/ч.

Расстояние между столбами составляет 1 км.

Время между 12:05 и 12:47 составляет 42 минуты, что равно \( \frac{42}{60} = 0.7 \) часа.

Расстояние между столбами с числами XY и YX равно 1 км.

Запишем число XY как \( 10X + Y \) и число YX как \( 10Y + X \).

Разница между этими числами составляет \( |(10X + Y) - (10Y + X)| = |9X - 9Y| = 9|X - Y| \).

Это расстояние машина прошла за 0.7 часа.

Поскольку столбы километровые, расстояние между ними 1 км. Значит, перестановка цифр в номере столба не меняет расстояние между ними, а только их порядок.

Рассмотрим время между 12:47 и 13:05. Это составляет 18 минут, что равно \( \frac{18}{60} = 0.3 \) часа.

Расстояние между столбами с числами YX и XOY равно 1 км.

Запишем число XOY как \( 100X + 0Y + Y \) — это ошибка в условии, так как XOY должно быть трехзначным числом. По смыслу задачи, столбы идут последовательно, и значит, если XY - двухзначное, то YX - двухзначное, а XOY - трехзначное. Проверим, возможна ли такая последовательность. Например, если XY = 12, то YX = 21, а XOY = 102. Разница между 21 и 102 составляет 81 км, что машина не могла проехать за 18 минут.

Предположим, что X, Y, O — цифры, и что XY и YX — это номера столбов, а XOY — это номер столба. Вероятнее всего, X, Y — цифры от 1 до 9, а O — цифра от 0 до 9.

Рассмотрим два промежутка времени:

1. С 12:05 до 12:47 (42 минуты = 0.7 часа). Пройденное расстояние = 1 км (между столбами XY и YX).
2. С 12:47 до 13:05 (18 минут = 0.3 часа). Пройденное расстояние = 1 км (между столбами YX и XOY).

Из первого промежутка: \( v = \frac{1 \text{ км}}{0.7 \text{ ч}} = \frac{10}{7} \) км/ч.

Из второго промежутка: \( v = \frac{1 \text{ км}}{0.3 \text{ ч}} = \frac{10}{3} \) км/ч.

Скорости не совпадают, что указывает на некорректность условий задачи или мое неверное толкование.

Перечитаем условие: "мимо столба с числом XY (где Х, У — некоторые цифры), в 12:47 — мимо столба с числом У Х, а в 13:05 — мимо столба с числом ХОУ."

Если XY и YX — это номера столбов, то они должны быть последовательными, то есть YX = XY + 1, или XY = YX + 1.

Предположим, что XY и YX — это двухзначные числа. Тогда \( 10X + Y \) и \( 10Y + X \).

Если \( 10Y + X = 10X + Y + 1 \), то \( 9Y - 9X = 1 \), \( 9(Y - X) = 1 \). Это невозможно, так как \( Y-X \) — целое число.

Значит, столбы не идут последовательно с разницей в 1.

Вернемся к скорости.

Между 12:05 и 12:47 (42 мин = 0.7 часа) проехал 1 км.

Между 12:47 и 13:05 (18 мин = 0.3 часа) проехал 1 км.

Это означает, что на каждом из этих отрезков проезжали 1 км. Но тогда скорости разные.

Возможно, XY, YX, XOY — это номера столбов, и расстояние между ними равно разнице номеров. Но это не указано.

Рассмотрим еще раз: "Вова заметил, что ровно 12:05 они проехали мимо столба с числом XY ... в 12:47 — мимо столба с числом YX, а в 13:05 — мимо столба с числом XOY."

Если это километровые столбы, то расстояние между ними примерно равно разнице их номеров (если они последовательные).

Посмотрим на время: 12:05, 12:47, 13:05. Интервалы: 42 мин и 18 мин.

Обозначим время первого столба как \( t_1 = 12:05 \), второго как \( t_2 = 12:47 \), третьего как \( t_3 = 13:05 \).

\( \triangle t_{12} = t_2 - t_1 = 42 \) мин.

\( \triangle t_{23} = t_3 - t_2 = 18 \) мин.

Пусть номера столбов \( N_1 = XY \), \( N_2 = YX \), \( N_3 = XOY \).

Расстояние между столбами = \( v \times \triangle t \).

Если \( N_2 - N_1 = 1 \) и \( N_3 - N_2 = 1 \), то \( v = \frac{1}{42/60} = \frac{60}{42} = \frac{10}{7} \) км/мин и \( v = \frac{1}{18/60} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \) км/мин. Скорости разные.

Из рисунка видно, что \( X F = 1 \). Вероятно, это часть решения, где \( F \) — это какая-то переменная.

Давайте предположим, что \( XY \) и \( YX \) — это номера столбов, и \( YX = XY + 1 \) или \( XY = YX + 1 \). Но это не так, как мы видели.

Что если \( X, Y \) — цифры, и \( XY = 10X + Y \), \( YX = 10Y + X \), \( XOY = 100X + Y \) (ошибка в условии, возможно, XOY = 100X + 10*0 + Y = 100X + Y).

Пусть \( d_1 \) — расстояние между столбами XY и YX, \( d_2 \) — расстояние между столбами YX и XOY.

\( d_1 = v \times 0.7 \)

\( d_2 = v \times 0.3 \)

Так как это километровые столбы, то \( d_1 \) и \( d_2 \) должны быть целыми числами (или разница номеров столбов).

Если \( d_1 = N_2 - N_1 \) и \( d_2 = N_3 - N_2 \), то \( N_2 - N_1 = 0.7v \) и \( N_3 - N_2 = 0.3v \).

\( v = \frac{N_2 - N_1}{0.7} = \frac{N_3 - N_2}{0.3} \)

\( 0.3(N_2 - N_1) = 0.7(N_3 - N_2) \)

\( 3(N_2 - N_1) = 7(N_3 - N_2) \)

\( 3N_2 - 3N_1 = 7N_3 - 7N_2 \)

\( 10N_2 = 7N_3 + 3N_1 \)

Подставим \( N_1 = 10X + Y \), \( N_2 = 10Y + X \), \( N_3 = 100X + Y \) (предполагая, что 0 — это просто обозначение цифры 0).

\( 10(10Y + X) = 7(100X + Y) + 3(10X + Y) \)

\( 100Y + 10X = 700X + 7Y + 30X + 3Y \)

\( 100Y + 10X = 730X + 10Y \)

\( 90Y = 720X \)

\( Y = 8X \)

Так как X и Y — цифры от 0 до 9, и X не может быть 0 (иначе XY было бы однозначным числом, а YX и XOY — двузначным и трехзначным, что вряд ли), то возможно только:

Если \( X = 1 \), то \( Y = 8 \).

Проверим:

\( N_1 = XY = 18 \)

\( N_2 = YX = 81 \)

\( N_3 = XOY = 108 \)

Теперь проверим расстояния и скорости:

\( d_1 = N_2 - N_1 = 81 - 18 = 63 \) км.

\( v_1 = \frac{63 \text{ км}}{0.7 \text{ ч}} = 90 \) км/ч.

\( d_2 = N_3 - N_2 = 108 - 81 = 27 \) км.

\( v_2 = \frac{27 \text{ км}}{0.3 \text{ ч}} = 90 \) км/ч.

Скорости совпадают! Значит, скорость машины 90 км/ч.

В рукописной части \( XF=1 \). Это может быть отсылка к тому, что \( X=1 \).

Ответ: 90 км/ч