Ответ:

Возможные варианты заполнения (подходящих прилагательных может быть несколько):

  1. без посторонней помощи — родительный падеж (без чего?).
  2. по скользкому льду — дательный падеж (по чему? в значении движения по поверхности).
  3. у большого дома — родительный падеж (у чего?).
  4. красивыми картинами — творительный падеж (чем?).
  5. в уютной комнате — предложный падеж (в чём?).
  6. верная собака — именительный падеж (кто? что?).
  7. в дальнюю поездку — винительный падеж (во что?).