3. Все углы между гранями многогранника — прямые. Найди косинус угла D1DA1.

Решение:

Для нахождения косинуса угла \( D_1DA_1 \) используем теорему косинусов для треугольника \( D_1DA_1 \).

Сначала найдём длины сторон этого треугольника:

1. Сторона \( DA_1 \): Это диагональ боковой грани многогранника. По условию, \( AD = 2 \) и \( AA_1 = 4 \). Так как углы между гранями прямые, то \( \angle DAA_1 = 90^ \). Используем теорему Пифагора:

\[ DA_1^2 = DA^2 + AA_1^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \]
\[ DA_1 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

2. Сторона \( D_1D \): Это ребро многогранника, которое соответствует высоте. По условию, \( D_1D = AA_1 = 4 \).

3. Сторона \( D_1A_1 \): Это диагональ верхней грани. По условию, \( D_1A_1 \) равна \( DA \) (длина основания) и \( BC \) (длина основания), что равно \( 2 \).

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику \( D_1DA_1 \):

\[ D_1A_1^2 = DA^2 + D_1D^2 - 2 \cdot DA \cdot D_1D \cdot \cos(\angle D_1DA) \]

Угол \( D_1DA \) является углом между двумя гранями, которые перпендикулярны. Таким образом, \( \angle D_1DA = 90^ \), а \( \cos(90^) = 0 \).

Однако, нам нужен угол \( D_1DA_1 \).

Рассмотрим векторы \( \vec{DA} \) и \( \vec{DA_1} \). Поместим начало координат в точку \( D \). Тогда:

• \( \vec{DA} = (2, 0, 0) \)
• \( \vec{DD_1} = (0, 0, 4) \)
• \( \vec{DA_1} = \vec{DD_1} + \vec{D_1A_1} \). Так как \( D_1A_1 \) параллельно \( AB \), то \( \vec{D_1A_1} = \vec{AB} = (0, 2, 0) \).
• Значит, \( \vec{DA_1} = (0, 2, 4) \)

Теперь найдём косинус угла между векторами \( \vec{DA} \) и \( \vec{DA_1} \) по формуле:

\[ \cos(\angle D_1DA_1) = \frac{\vec{DA} \cdot \vec{DA_1}}{|\vec{DA}| \cdot |\vec{DA_1}|} \]

Вычислим скалярное произведение:

\[ \vec{DA} \cdot \vec{DA_1} = (2)(0) + (0)(2) + (0)(4) = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: 0.