Ответ:

Вставленные слова и падежи:

  1. Не подливай масла в огонь — винительный падеж: подливать во что?
  2. Нет дыма без огня — родительный падеж: нет чего?
  3. Новая метла хорошо метёт — именительный падеж: что?
  4. Курочка по зёрнышку клюёт и сыта бывает — именительный падеж (кто?) и дательный падеж (по чему?).
  5. Слухом земля полнится — именительный падеж: что?