Ответ:

1) В течение этого года оценки Павлики стали лучше. В значении «на протяжении» это производный предлог, который пишется раздельно и оканчивается на е.

2) В продолжение получаса шёл сильный снег. В значении времени это производный предлог; на конце пишется е.

3) На встречу с известным писателем пришли школьники. Здесь «встречу» — существительное, к нему относится определение «с известным писателем», поэтому предлог и существительное пишутся раздельно.

4) Катя прошла в комнату, не смотря в сторону брата, открывшего дверь. Это деепричастие с отрицательной частицей, а не предлог; пишется раздельно.

Ответ: предлоги — «в течение», «в продолжение», «на».