3. Вычислить \(\frac{1}{3} \log_6 27 + 4 \log_6 2\)

Привет! Давай разберёмся с этим примером по логарифмам.

Что нужно сделать: Вычислить значение выражения \( \frac{1}{3} \log_6 27 + 4 \log_6 2 \)

Разбираемся по шагам:

1. Сначала посмотрим на первый член: \( \frac{1}{3} \log_6 27 \). Мы знаем, что \( 27 = 3^3 \). Используем свойство логарифма \( \log_b (a^c) = c \log_b a \). Тогда \( \log_6 27 = \log_6 (3^3) = 3 \log_6 3 \). Получаем: \( \frac{1}{3} \times (3 \log_6 3) = \log_6 3 \).
2. Теперь посмотрим на второй член: \( 4 \log_6 2 \). Используем то же свойство логарифма \( c \log_b a = \log_b (a^c) \). Тогда \( 4 \log_6 2 = \log_6 (2^4) = \log_6 16 \).
3. Теперь сложим полученные результаты: \( \log_6 3 + \log_6 16 \). Применим свойство логарифма \( \log_b a + \log_b c = \log_b (a \times c) \). Получаем: \( \log_6 (3 \times 16) = \log_6 48 \).
4. Проверим, не ошибся ли я. \( 27=3^3 \), \( 2^4=16 \). \( \log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3*16) = \log_6 48 \).

Вот такая красота получилась!

Ответ: \( \log_6 48 \)