3. Вычислить интеграл. Левая группа: а) $\int_{1}^{2}\left(3x^2-4x-\frac{2}{x^2}\right)dx$; б) $\int_{1}^{4}(4\sqrt{x}-3x^2)dx$; в) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислить интеграл. Левая группа: а) $\int_{1}^{2}\left(3x^2-4x-\frac{2}{x^2}\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Первообразная:

\[\int\left(3x^2-4x-\frac{2}{x^2}\right)dx=x^3-2x+\frac{2}{x}.\]

Подставим пределы:

\[\left(x^3-2x+\frac{2}{x}\right)\Big|_1^2=(8-4+1)-(1-2+2)=5-1=4.\]

б)

Первообразная:

\[\int(4\sqrt{x}-3x^2)dx=\frac{8}{3}x^{\frac32}-x^3.\]

\[\left(\frac{8}{3}x^{\frac32}-x^3\right)\Big|_1^4=\left(\frac{8}{3}\cdot8-64\right)-\left(\frac83-1\right)= -\frac{128}{3}-\frac53=-\frac{133}{3}.\]

в)

Первообразная:

\[\int\sin\left(2x-\frac\pi4\right)dx=-\frac12\cos\left(2x-\frac\pi4\right).\]

\[\left.-\frac12\cos\left(2x-\frac\pi4\right)\right|_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}=\frac{\sqrt2}{4}-\left(-\frac{\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.\]

Ответ: а) 4; б) $-\frac{133}{3}$; в) $\frac{\sqrt2}{2}$.

3. Вычислить интеграл. Левая группа: а) \(\int_{1}^{2}\left(3x^2-4x-\frac{2}{x^2}\right)dx\); б) \(\int_{1}^{4}(4\sqrt{x}-3x^2)dx\); в) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)dx\).