3. Вычислить интеграл. Правая группа: а) $\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx$; б) $\int_{1}^{4}(4x^3-3\sqrt{x})dx$; в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{24}}\frac{2\,dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислить интеграл. Правая группа: а) $\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Первообразная:

\[\int\left(\frac4{x^2}+2x-3x^2\right)dx=-\frac4x+x^2-x^3.\]

\[\left(-\frac4x+x^2-x^3\right)\Big|_1^4=(-1+16-64)-(-4+1-1)=-49-(-4)=-45.\]

б)

Первообразная:

\[\int(4x^3-3\sqrt{x})dx=x^4-2x^{\frac32}.\]

\[\left(x^4-2x^{\frac32}\right)\Big|_1^4=(256-16)-(1-2)=240+1=241.\]

в)

Поскольку $\left(\cot u\right)'=-\frac1{\sin^2u}$, получаем:

\[\int\frac{2\,dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}=-\cot\left(2x+\frac\pi4\right).\]

Тогда

\[\left.-\cot\left(2x+\frac\pi4\right)\right|_0^{\frac\pi{24}}=-\cot\frac\pi3+\cot\frac\pi4=-\frac1{\sqrt3}+1=1-\frac{\sqrt3}{3}.\]

Ответ: а) $-45$; б) 241; в) $1-\frac{\sqrt3}{3}$.

3. Вычислить интеграл. Правая группа: а) \(\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx\); б) \(\int_{1}^{4}(4x^3-3\sqrt{x})dx\); в) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{24}}\frac{2\,dx}{\sin^2\left(2x+\frac\pi4\right)}\).