3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² - 6x + 9, y = 0, x = 0.

Решение:

Даны линии: \( y = x^2 - 6x + 9 \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = 0 \) (ось ординат).

Сначала найдем точки пересечения параболы \( y = x^2 - 6x + 9 \) с осью абсцисс \( y = 0 \).

\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Заметим, что это полный квадрат:

\( (x - 3)^2 = 0 \)

Следовательно, \( x = 3 \) — единственная точка пересечения параболы с осью абсцисс (это вершина параболы).

Парабола \( y = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \) направлена ветвями вверх и касается оси абсцисс в точке \( x = 3 \).

Фигура ограничена сверху параболой \( y = (x-3)^2 \), снизу осью \( y = 0 \), слева осью \( x = 0 \). Нам нужно найти площадь фигуры, заключенной между \( x=0 \) и \( x=3 \) (так как до \( x=3 \) парабола находится над осью \( y=0 \)).

Площадь фигуры находится по интегралу:

\[ S = ∫_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = ∫_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x \right]_{0}^{3} \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3} \]

Подставим верхний предел интегрирования \( x=3 \):

\[ S = \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9(3) = \frac{27}{3} - 3(9) + 27 = 9 - 27 + 27 = 9 \]

Подставим нижний предел интегрирования \( x=0 \):

\[ S = \frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9(0) = 0 \]

Вычислим разность:

\[ S = 9 - 0 = 9 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 9.