3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x², y = 2x.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 2x \), сначала найдём точки их пересечения.

1. Приравняем уравнения: \( x^2 = 2x \)
2. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - 2x = 0 \)
3. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x - 2) = 0 \)
4. Отсюда получаем два значения \( x \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).
5. Теперь найдём площадь фигуры, используя определённый интеграл. Площадь \( S \) равна интегралу от разности верхнего графика и нижнего графика по переменной \( x \) от точки пересечения \( a \) до точки пересечения \( b \). В данном случае, на интервале \( [0, 2] \), прямая \( y = 2x \) находится выше параболы \( y = x^2 \).
6. Вычислим площадь: \[ S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx \]
7. Найдём первообразную: \[ \int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{x^3}{3} \]
8. Подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \]
9. Вычислим значение: \[ S = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \).