3. Вычислить по формуле трапеций интеграл при \(n=5\) и сравнить с точным значением: \(\displaystyle\int_1^9\frac{5\sqrt{x}}{x^2}\,dx\).

Подынтегральная функция: \(f(x)=5x^{-3/2}\). Шаг разбиения: \(h=\dfrac{9-1}{5}=1.6\). Узлы: \(1,\ 2.6,\ 4.2,\ 5.8,\ 7.4,\ 9\).

По формуле трапеций \(T_5=h\left(\dfrac{f(x_0)+f(x_5)}{2}+\sum_{i=1}^{4}f(x_i)\right)\). Значения функции в узлах приблизительно равны \(5,\ 1.1928,\ 0.5809,\ 0.3580,\ 0.2484,\ 0.1852\).

Подстановка даёт \(T_5\approx1.6\left(\dfrac{5+0.1852}{2}+1.1928+0.5809+0.3580+0.2484\right)\approx7.955\).

Точное значение: \(\displaystyle\int_1^9 5x^{-3/2}\,dx=\left[-10x^{-1/2}\right]_1^9=-\frac{10}{3}+10=\frac{20}{3}\approx6.667\).

Формула трапеций завышает точное значение примерно на \(7.955-6.667=1.288\).

Ответ: приближённое значение \(T_5\approx7.955\); точное значение \(\dfrac{20}{3}\approx6.667\). Погрешность приближения — около \(1.288\), значение завышено.