3) Вычислить sin(x-300°)+cos(600°+x)

Решение:

Чтобы вычислить значение выражения, воспользуемся формулами приведения и свойствами тригонометрических функций.

1. Преобразуем первое слагаемое:
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin(\alpha - 300^{\circ} + 360^{\circ}) = \sin(\alpha + 60^{\circ}) \]
• Используя формулу синуса суммы: \[ \sin(\alpha + 60^{\circ}) = \sin \alpha \cos 60^{\circ} + \cos \alpha \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \]
2. Преобразуем второе слагаемое:
• \[ \cos(600^{\circ} + \alpha) = \cos(600^{\circ} - 360^{\circ} + \alpha) = \cos(240^{\circ} + \alpha) \]
• Используя формулу косинуса суммы:
  \[ \cos(240^{\circ} + \alpha) = \cos 240^{\circ} \cos \alpha - \sin 240^{\circ} \sin \alpha \]
• Значения
  \(
  \cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2}
  \) и
  \(
  \sin 240^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
  \)
• Подставляем:
  \[ \cos(240^{\circ} + \alpha) = -\frac{1}{2} \cos \alpha - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin \alpha = -\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \]
3. Складываем полученные выражения:
• \[ (\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha) + (-\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) \]
• \[ = \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha \]
• \[ = \sin \alpha (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos \alpha (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) \]
• \[ = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cos \alpha \]

Ответ:
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cos \alpha \]