3. Вычислите: 1) 3P12-P11 7P10 2) A 2 5 C 3 6

Решение:

Для решения задач будем использовать формулы перестановок и сочетаний:

• Перестановки: \( P_n = n! \)
• Размещения: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
• Сочетания: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

1) Вычисление выражения с перестановками:

\[ \frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 ∙ 12! - 11!}{7 ∙ 10!} \]

• Вынесем общие множители:

\[ \frac{3 ∙ 12 ∙ 11! - 11!}{7 ∙ 10!} = \frac{11!(3 ∙ 12 - 1)}{7 ∙ 10!} \]

• Преобразуем 11! и 10!:

\[ \frac{11! (36 - 1)}{7 ∙ 10!} = \frac{11 ∙ 10! ∙ 35}{7 ∙ 10!} \]

• Сократим 10! и числовые значения:

\[ \frac{11 ∙ 35}{7} = 11 ∙ 5 = 55 \]

2) Вычисление выражения с размещениями и сочетаниями:

\[ \frac{A_5^2}{C_6^3} \]

• Сначала вычислим \( A_5^2 \):

\[ A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 ∙ 4 ∙ 3!}{3!} = 5 ∙ 4 = 20 \]

• Затем вычислим \( C_6^3 \):

\[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!}{3! ∙ (3 ∙ 2 ∙ 1)} = \frac{6 ∙ 5 ∙ 4}{3 ∙ 2 ∙ 1} = 5 ∙ 4 = 20 \]

• Теперь найдем отношение:

\[ \frac{A_5^2}{C_6^3} = \frac{20}{20} = 1 \]

Ответ: 1) 55; 2) 1