3. Вычислите: 1) (6P11-P10):13 P9; 2) C: A

Задание 3. Вычисления с использованием размещений и сочетаний

1) Вычисление выражения с размещениями:

Для начала вспомним формулу размещения: \( P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Нам нужно вычислить \( (6 \cdot P_{11}^{11} - P_{10}^{10}) : (13 \cdot P_9^9) \).

Упростим выражения:

• \( P_{n}^{n} = n! \)
• \( P_{11}^{11} = 11! \)
• \( P_{10}^{10} = 10! \)
• \( P_9^9 = 9! \)

Подставим в исходное выражение:

\[ \frac{6 \cdot 11! - 10!}{13 \cdot 9!} \]

Вынесем общие множители:

\[ \frac{6 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 10! - 10!}{13 \cdot 9!} = \frac{10! \cdot (6 \cdot 11 \cdot 10 - 1)}{13 \cdot 9!} \]

Заменим \( 10! = 10 \cdot 9! \):

\[ \frac{10 \cdot 9! \cdot (660 - 1)}{13 \cdot 9!} \]

Сократим \( 9! \):

\[ \frac{10 \cdot 659}{13} = \frac{6590}{13} \]

Выполним деление:

\[ \frac{6590}{13} = 506.923... \]

Примечание: Вероятно, в условии опечатка, так как результат не является целым числом. Если бы было \( P_{11}^1 \) и \( P_{10}^1 \), то: \( (6 \times 11 - 10) : (13 \times 9) = (66 - 10) : 117 = 56 : 117

\)

2) Вычисление отношения сочетаний и размещений:

Формула сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Формула размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Нам нужно вычислить \( C_7^4 : A_6^3 \).

Вычислим \( C_7^4 \):

\[ C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35 \]

Вычислим \( A_6^3 \):

\[ A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]

Теперь найдем отношение \( C_7^4 : A_6^3 \):

\[ \frac{C_7^4}{A_6^3} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \]

Ответ: 1) 506.92... (с учетом возможной опечатки в условии); 2)

$$\frac{7}{24}$$