3. Вычислите: \(1\frac{31}{35} : \left(2 - \frac{8}{9} : 1\frac{19}{45}\right)\)

Решение:

Для вычисления выражения \(1\frac{31}{35} : \left(2 - \frac{8}{9} : 1\frac{19}{45}\right)\) выполним действия в скобках по порядку.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 1\frac{31}{35} = \frac{1 \cdot 35 + 31}{35} = \frac{35+31}{35} = \frac{66}{35} \)
• \( 1\frac{19}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 19}{45} = \frac{45+19}{45} = \frac{64}{45} \)
2. Деление в скобках: \( \frac{8}{9} : \frac{64}{45} \)
• Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную вторую: \( \frac{8}{9} \cdot \frac{45}{64} \)
• Сократим множители: \( \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{9}^1} \cdot \frac{\cancel{45}^5}{\cancel{64}^8} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 8} = \frac{5}{8} \)
3. Вычитание в скобках: \( 2 - \frac{5}{8} \)
• Приведём 2 к виду дроби со знаменателем 8: \( \frac{2 \cdot 8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{16}{8} - \frac{5}{8} = \frac{16-5}{8} = \frac{11}{8} \)
4. Деление: \( \frac{66}{35} : \frac{11}{8} \)
• Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную вторую: \( \frac{66}{35} \cdot \frac{8}{11} \)
• Сократим множители: \( \frac{\cancel{66}^6}{35} \cdot \frac{8}{\cancel{11}^1} = \frac{6 \cdot 8}{35 \cdot 1} = \frac{48}{35} \)
• Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: \( \frac{48}{35} = 1 \frac{13}{35} \)

Ответ: \( 1 \frac{13}{35} \).