3. Вычислите: а) \(\log_3\sqrt[3]{81}\); б) \(\log_4\sqrt[5]{16}\); в) \(\log_2\sqrt[4]{32}\); г) \(\log_5\sqrt{125}\); д) \(\lg\sqrt[7]{100}\); е) \(\log_3\sqrt{243}\).

Используем равенство \(\log_a(a^k)=k\) и представим подкоренные числа степенями основания логарифма.

1. а) \(81=3^4\), поэтому \(\log_3\sqrt[3]{81}=\log_3(3^{4/3})=\frac{4}{3}\).
2. б) \(16=4^2\), поэтому \(\log_4\sqrt[5]{16}=\log_4(4^{2/5})=\frac{2}{5}\).
3. в) \(32=2^5\), поэтому \(\log_2\sqrt[4]{32}=\log_2(2^{5/4})=\frac{5}{4}\).
4. г) \(125=5^3\), поэтому \(\log_5\sqrt{125}=\log_5(5^{3/2})=\frac{3}{2}\).
5. д) \(100=10^2\) и \(\lg x=\log_{10}x\), поэтому \(\lg\sqrt[7]{100}=\log_{10}(10^{2/7})=\frac{2}{7}\).
6. е) \(243=3^5\), поэтому \(\log_3\sqrt{243}=\log_3(3^{5/2})=\frac{5}{2}\).

Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); б) \(\frac{2}{5}\); в) \(\frac{5}{4}\); г) \(\frac{3}{2}\); д) \(\frac{2}{7}\); е) \(\frac{5}{2}\).