3. Вычислите действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\dfrac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3) $\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]9}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\dfrac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}$; 5) $((a^2)^{1/3})^{3/5}$; 6) $\dfrac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислите действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\dfrac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3)…$ Фото задания

3. Вычислите действия: 1) $2\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}$; 2) $\left(\dfrac{2^{2/3}}{4^{5/6}}\right)^3$; 3) $\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]9}{\sqrt[4]{27}}}$; 4) $\dfrac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}$; 5) $((a^2)^{1/3})^{3/5}$; 6) $\dfrac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}$.

Accepted Answer

При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: $2^1\cdot2^{1/2}\cdot2^{1/4}\cdot2^{1/8}=2^{1+1/2+1/4+1/8}=2^{15/8}=4\sqrt[8]2$.
$4^{5/6}=(2^2)^{5/6}=2^{5/3}$, поэтому $\left(\dfrac{2^{2/3}}{2^{5/3}}\right)^3=(2^{-1})^3=\dfrac18$.
Запишем подкоренные числа степенями тройки: $\sqrt{\dfrac{3^{2/3}}{3^{3/4}}}=\sqrt{3^{-1/12}}=3^{-1/24}=\dfrac1{\sqrt[24]3}$.
$\dfrac{a^{2/3}a^{-5/4}}{a^{3/2}a^{-1/3}}=a^{2/3-5/4-3/2+1/3}=a^{-7/4}=\dfrac1{a^{7/4}}$. Для исходного выражения требуется $a>0$.
$((a^2)^{1/3})^{3/5}=a^{2\cdot1/3\cdot3/5}=a^{2/5}$ (при действительном определении выражения, $a\ge0$).
$\dfrac{3^{1/3}\cdot7^{1/3}}{9^{1/3}}=\sqrt[3]{\dfrac{21}{9}}=\sqrt[3]{\dfrac73}$.

Ответ: 1) $4\sqrt[8]2$; 2) $1/8$; 3) $1/\sqrt[24]3$; 4) $1/a^{7/4}$; 5) $a^{2/5}$; 6) $\sqrt[3]{7/3}$.