3. Вычислите: sin(π/48)cos(π/48)cos(π/24)cos(π/12)

Решение:

Для вычисления данного выражения используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \). Перепишем данное выражение, чтобы применить эту формулу.

1. Умножим и разделим выражение на 2:

\[ \frac{1}{2} \cdot 2 \sin\frac{\pi}{48} \cos\frac{\pi}{48} \cos\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{12} \]

2. Применим формулу двойного угла для \( \sin\frac{\pi}{48} \cos\frac{\pi}{48} \): \( 2 \sin\frac{\pi}{48} \cos\frac{\pi}{48} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{48}\right) = \sin\frac{\pi}{24} \).

Выражение примет вид:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{12} \]

3. Снова применим формулу двойного угла для \( \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} \): \( 2 \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \sin\frac{\pi}{12} \).

Выражение примет вид:

\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{8} \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} \]

4. Последний раз применяем формулу двойного угла для \( \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} \): \( 2 \sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin\frac{\pi}{6} \).

Выражение примет вид:

\[ \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{16} \sin\frac{\pi}{6} \]

5. Вычислим значение \( \sin\frac{\pi}{6} \): \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Итоговое выражение:

\[ \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{32} \]

Ответ: \( \frac{1}{32} \).