3. Вычислите: в) \(\frac{3^{10} + 2 · 3^9 + 3^8}{3^{11} - 11 · 3^8}\)

Решение:

1. Для вычисления выражения \(\frac{3^{10} + 2 · 3^9 + 3^8}{3^{11} - 11 · 3^8}\) сначала вынесем общий множитель за скобки в числителе. Наименьшая степень — \(3^8\).
2. Числитель: \(3^{10} + 2 · 3^9 + 3^8 = 3^8 · (3^2 + 2 · 3^1 + 1) = 3^8 · (9 + 6 + 1) = 3^8 · 16\).
3. Теперь вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Наименьшая степень — \(3^8\).
4. Знаменатель: \(3^{11} - 11 · 3^8 = 3^8 · (3^3 - 11) = 3^8 · (27 - 11) = 3^8 · 16\).
5. Теперь подставим упрощённые выражения обратно в дробь: \(\frac{3^8 · 16}{3^8 · 16}\).
6. Сократим дробь, получив \(1\).

Ответ: 1